A formalização do trabalho de pesquisa e pedagógico acerca do tema escolhido pode ser acessado aqui.

Por que ensinar Introdução à Integração através de Soma de Riemann!?

Numa pesquisa a livros didáticos pudemos constatar que grande parte deles não introduz mais o conceito de integração através de Soma de Riemann. E, se o faz, é de maneira lacônica, onde o estudantes sequer pode inferir e conectar a ideias e problemas geradores de um novo conceito. A conexão e a potencialização da aprendizagem dos mesmos sobre a construção dessa ferramenta do Cálculo Integral é perdida, e passa a ser percebida como um conteúdo a mais para ser trabalhado, ou que não há a menor conexão com a utilidade das ferramentas usuais para se calcular a área abaixo de uma curva/função.

Na postagem sobre Soma de Riemann: Teoria, Exemplos e Reflexões, elencamos os livros didáticos que nos dispusemos a analisar. Foi quando percebemos que poucos trazem a abordagem de soma de Riemann como conceito introdutório ao cálculo de áreas, ou integração definida. A maioria parte direto para a definição de integral por meio de funções primitivas, seguidas de regras de integração. O que, ao nosso ver, causa muitos problemas, enquanto um construto mal fundamentado e totalizante, que não fora/ nem será abordado de uma maneira efetiva, em que o estudante possa entender, compreender e relacionar-se com aqueles signos. 

Sendo assim, tentando subverter este modelo superficial de introdução à integração, expomos aqui, o que nos motivou a trabalhar com o tema, e nos dedicamos ao estudo e proposta de trabalho sobre a Soma de Riemann como meio de introdução à Integração.

Buscamos suporte em tecnologias informacionais para esta introdução, mais especificamente, em um software de Geometria Dinâmica junto ao blog aqui construído. Justificamos a tecnologia enquanto fundo para esta abordagem pois com ela é possível a visualização dos conceitos e da construção de modos distintos de outras abordagens sem a mesma, modos que consideramos abrir possibilidades para os processos intuitivos, que corroboram muitas vezes à descoberta, ao novo, inclusive a novas formas de compreender que a complexidade empregada por muitos no que diz respeito ao cálculo, é acessível se trabalhada junto metodologias que contemplam tecnologias informáticas.

A potencialidade das tecnologias, quando focada junto ao ensino e à aprendizagem de Matemática, nos motivou a pensar uma proposta de Introdução à Integração através de Soma de Riemann utilizando o Software Geogebra, no qual, a questão da visualidade que se mostra uma dificuldade em muitas situações, pode ser melhor tratada visto que o software fornece ferramentas que facilitam a construção de gráficos que são muitas vezes inviáveis de construir sem o auxílio do computador.

A seguir destacamos dois trabalhos divulgados em meio acadêmico que abordam o tema com propriedade e que foram base para nossos estudos:

• O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA EM CÁLCULO ANÁLISE GRÁFICA DE DERIVADA E INTEGRAL (Créditos de TRINDADE; WANGHON, 2011).
• Soma de Riemann e cálculo de área sob uma curva por integrais com auxílio do software Geogebra (Créditos de SILVA; PEREIRA, DAMIN; YONEZAWA, 2014).

Problema 1:

A área sob uma curva dada - Construindo o conceito de Soma de Riemann

Use retângulos para estimar a área sob a parábola y = x² no intervalo de 0 até 1 atendendo os passos que seguem:

Item 1 - Marque a opção Mostrar Soma Inferior. Observe a área determinada por esta soma.

Item 2 - Marque a opção Mostrar Soma Superior. Observe a área determinada por esta soma.

                                                     

Problema 2:

O problema do Deslocamento

Encontrar o deslocamento de um objeto durante um certo período de tempo, sendo que a velocidade do objeto  é conhecida em todos os instantes. Se a velocidade permanece constante, então o problema de distância  é fácil de resolver por meio da fórmula:

deslocamento = velocidade x tempo

Mas, e se a velocidade variar? Vamos investigar o problema no suposto caso a seguir:

Tempo (s)	0	0,25	0,5	0,75
Velocidade (km/h)	4	2,81	1,75	0,81

Os pares ordenados (tempo, velocidade) estão representados no eixo cartesiano que segue, bem como a curva f(x) que os contém:

Problema 3:

A função que possibilita a verificação da velocidade (em m/s) de uma determinada partícula é dada por f(x) = 8x³ - 31x² + 27x, onde x é o instante medido em segundos.

A imagem abaixo traz a curva que descreve a velocidade atingida pela partícula e também informações relativas à distância e descolamento da partícula com o passar do tempo.

Pretende-se analisar especificamente o deslocamento e a distância percorrida pela partícula após 2,5 segundos.

Somas de Riemann: Teoria, Exemplos e Reflexões.

Soma de Riemann

Soma de Riemann consiste em se fazer uma aproximação da área delimitada por uma função, curva ou gráfico através de retângulos, quando da utilização de uma expressão, tal como, Σ f(x)*Δx. Esse raciocínio é devido em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann. 

Tal soma é dada pela divisão da região a ser calculada em retângulos que, juntos, formam uma região bem próxima àquela a ser medida. Ou seja, calcula-se a área de cada retângulo e soma-se todas essas áreas juntas para aproximar ao valor de área pretendido para a função em questão.  

Tendo em vista que a região preenchida por retângulos, geralmente não corresponde a exata forma da região a ser medida, a Soma de Riemann será diferente desta. Isso ocorre quando o número de partições do intervalo de definição da função for um número inteiro (finito). Esse erro, determinado pela soma de Riemann e a área exata da função, pode ser reduzido se a região for cada vez mais dividida, usando retângulos com bases cada vez menores, e à medida em que esse número se torna cada vez maior, o erro fica cada vez menor. Intuitivamente propomos a ilustração a seguir, quando fazemos uma partição inicial em sete partes num determinado intervalo [a,b], dentro do domínio da função, onde desejamos avaliar a área da mesma:

     

Fonte: Regina Lúcia Quintanilha de Lima & Murilo Ferreira Yamamoto. In: http://www.uff.br/webmat/, 2003.

Encontramos em livros-textos, livros-didáticos e em materiais de auxílio à disciplinas de Cálculo Integral, três tipos principais de Somas de Riemann. Tais somas são classificadas dependendo de cada ponto que é escolhido para se determinar as alturas dos retângulos das partições do intervalo de definição da função: 

• Soma à Direita - SD: o ponto final à direita do subsegmento; 
• Soma à Esquerda - SE: o ponto final à esquerda do subsegmento; 
• Soma ao Ponto Médio - SPM: o caminho do meio, ou intermediário, entre os pontos extremos do sub-intervalo; 

Entretanto, propomos que seja verificada, após o estudo, através da resolução dos problemas propostos, a equivalência entre esses três tipos de Somas de Riemann.

Para adentrarmos efetivamente na constituição desse conhecimento, definiremos a Soma de Riemann da seguinte forma:

Seja, inicialmente, f uma função contínua num intervalo [a,b] e, sem perda de generalidade, tal que  para todo .

Para calcularmos a área delimitada pela região compreendida entre o gráfico da função f e o eixo Ox, quando x varia no intervalo , devemos considerar uma partição do intervalo , tal qual aquela determinada pelo conjunto de pontos .

Assim, apresentamos n sub-intervalos, em que, cada um deles se apresenta na forma , onde o índice i varia de 1 até n, ou seja, . Se as n divisões daquele intervalo forem todas do mesmo tamanho, teremos cada um dos sub-intervalos com comprimento , onde .

Nesses sub-intervalos , podemos considerar um ponto arbitrário m_i, que poderá satisfazer, qualquer um dos 5 tipos de soma de Riemann, como apresentamos acima. Logo, obteremos um valor aproximado para a área da região, que representado por (BARUFI et al.):

que será a Soma de Riemann relativa à partição P e à função f. 

Ao tomarmos o limite pela partição do intervalo [a,b], fazendo crescer indefinidamente o número de pontos dessa partição, ou seja, fazendo o número de partições , obteremos para qualquer escolha dos pontos x_i* em cada um dos sub-intervalos , para , qualquer um dos três tipos de somas acima, na forma , é denominada soma de Riemann para a função f, relativa à partição P e aos números x_i*, para . 

Destacamos que a escolha da partição determina o tamanho de , para , e por esse motivo, indicaremos a soma de Riemann, relativa à função f, pela expressão:

.

Logo, nos advém a definição usual de área, ou integral, definida por uma função num intervalo [a,b], onde 

 

Atentamos ao fato de que tal área será igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito. 

Abaixo deixamos dois links para o leitor estudar e inferir os resultados discutidos e poder compreender de uma maneira mais visual os conceitos matemáticos que fundamentaram/fundamentam nossa proposta:


Uma outra formalização dos conceitos das Somas de Riemann podem ser encontradas em Revista Unión como um trabalho de pesquisa dos autores desse blog.

• Somas de Riemann à direita, à esquerda e por pontos médios (Créditos de Renato Francisco Lopes Mello in GeoGebraTube).

• Soma de Riemann continuação (Créditos de Luis Cláudio LA in GeoGebra).

Referências Bibliográficas: 

BARUFI, M. C. B., et al.. Soma de Riemann. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/>. Acesso em 01/09/2015.

LIMA, L. Q.; YAMAMOTO, M. F.. Soma de Riemann. Disponível em: <http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine>. Acesso em 02/09/2015.

BOULOS, Paulo. Introdução ao Cálculo. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974.

BOYER, Carl B. Cálculo. São Paulo: Atual, 1996.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

HUGHES, Deborah, GLEASON, Andrew M. Cálculo - Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997.

LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Harbra, 1994.

SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução: Seiji Hariki. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

STEWART, James. Calculus. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra et al. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001.

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução Alfredo Alves de Faria. São Paulo: Makron Books, 1994.

THOMAS, George B. Cálculo - Volume 1. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002.